纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是五种比较松散的数据特性。它有有些节点(vertice),在有些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也跳出过,大伙通常在节点中储存数据。边表示好几个 多多多节点之间的地处关系。在树中,大伙用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是五种特殊的图,但限制性更强有些。

原来的五种数据特性是很常见的。比如计算机网络,全都我由有些节点(计算机之前 路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也可不并能理解为图,地铁站可不并能认为是节点。基于图有有些经典的算法,比如求图中好几个 多多多节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥问题报告 (Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市暗含第一根河流过,河中好几个 多多多多小岛。有七座桥桥连接河的两岸和好几个 多多多小岛。送信员总想知道,有没好几个 多多多多法律依据 ,能不重复的走过7个桥呢?

(這個问题报告 在有些奥数教材中称为"一笔画"问题报告 )

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的可不并能看作由7个边和好几个 多多多节点构成的好几个 多多多图:

這個问题报告 最终被欧拉巧妙的处置。七桥问题报告 也启发了一门新的数学些科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,之前 某个节点全是起点之前 终点,如此连接它的边的数目可不并能为偶数个(从好几个 多多多桥进入,再从原来桥失去)。对于柯尼斯堡的七桥,之前 好几个 多多多节点都为奇数个桥,而最多如此好几个 多多多多节点为起点和终点,全都不之前 一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。好几个 多多多图的所有节点构成好几个 多多多集合[$V$]。好几个 多多多边可不并能表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即好几个 多多多节点。之前 [$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,如此图是有向的(directed)。有序的边可不并能理解为单行道,如此沿好几个 多多多方向行进。之前 [$(v_1, v_2)$]无序,如此图是无向的(undirected)。无序的边可不并能理解成双向都可不并能行进的道路。好几个 多多多无序的边可不并能看作连接相同节点的好几个 多多多反向的有序边,全都无向图可不并能理解为有向图的五种特殊情况。

(七桥问题报告 中的图是无向的。城市中的公交线路可不是 无向的,比如地处单向环线)

图的好几个 多多多路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也全都我说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为好几个 多多多节点。路径里面的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,大伙会在选取某个路径,来从A站到达B站。原来的路径之前 有不止第一根,大伙往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤情况,来选取第一根最佳的路线。之前 地处第一根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,如此认为该图中地处环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中地处环路。

 

找到第一根环路

之前 从每个节点,到任意好几个 多多多其它的节点,全是第一根路径一段话,如此图是连通的(connected)。对于好几个 多多多有向图来说,原来的连通称为强连通(strongly connected)。之前 好几个 多多多有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,如此认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

之前 将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,原来的图之前 是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间如此路径相连。

图的实现

五种简单的实现图的法律依据 是使用二维数组。让数组a的每一行为好几个 多多多节点,该行的不同元素表示该节点与有些节点的连接关系。之前 [$(u, v) \in E$],如此a[u][v]记为1,之前 为0。比如下面的好几个 多多多暗含好几个 多多多节点的图:

 

可不并能简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

這個实现法律依据 所地处的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而如此快增多。之前 边全是很密集,如此全都数组元素记为0,如此稀疏的有些数组元素记为1,全都并全是很经济。

更经济的实现法律依据 是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,大伙建立好几个 多多多链表。对于任意节点k,之前 有[$(m, k) \in E$],就将该节点装进去去到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准法律依据 。比如下面的图,

 

可不并能用如下的数据特性实现:

 

左侧为好几个 多多多数组,每个数组元素代表好几个 多多多节点,且指向好几个 多多多链表。该链表包暗含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表可不并能分为两部分。邻接表所地处的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组部分储存节点信息,地处[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,地处[$|E|$]的空间,即边的总数。在有些僵化 的问题报告 中,定点和边还之前 有有些的附加信息,大伙可不并能将那些附加信息储地处相应的节点之前 边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

里面的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是五种很简单的数据特性。图的组织法律依据 比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法僵化 度。我将在完后 介绍有些图的经典算法。

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